Question

【题目】设函数，函数，则方程实数解的个数是（ ）.

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据函数在上单调递增和在任意区间，上，函数的值为定值得在任意区间，上，方程至多有一个实数解，再分别对时，时，时，求得的解，再运用数学归纳法证明，，时，恒成立，即无解，从而得选项。

由题意知，，，，则时，。

由对数函数性质知函数在上单调递增，

由，，知：在任意区间，上，函数的值为定值。

则在任意区间，上，方程至多有一个实数解。

①当时，，令，解得,

故此时有唯一解；

②当时，，令，解得,

故此时有唯一解；

③当时，，令，解得，

故此时有唯一解；

④当时，，令，解得,

故此时无解，因为，所以恒成立；

⑤设，，时，恒成立，

而，，时，，

则恒成立等同于恒成立，

当，，时，

，

所以当，，时，则有仍然恒成立。

由④知时，即时，恒成立，

则，，时，恒成立，即无解。

综上所述，方程的实数根为，以及，共3个。

故选：C。