Question

10．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=4a_n+2ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
（1）令b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+1，求证：数列{b_n}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求满足a_n≥240的最小正整数n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=4a_n+2ⁿ⁺¹，b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+1，可得b_n+1=2b_n，结合a₁=2，可得数列{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，
（2）由（1）得：b_n=2ⁿ，结合b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+1，可得数列{a_n}的通项公式；
（3）令t=2ⁿ，则a_n≥240可化为：t²-t≥240，先解二次不等式，再解指数不等式可得答案．

解答 证明：（1）∵a_n+1=4a_n+2ⁿ⁺¹，b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+1，
∴b_n+1=$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$+1=$\frac{{4a}_{n}+{2}^{n+1}}{{2}^{n+1}}+1$=$\frac{{4a}_{n}}{{2}^{n+1}}+2$=2（$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+1）=2b_n，
又∵a₁=2，
∴b₁=2，
∴数列{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，
（2）由（1）得：b_n=2ⁿ，
即$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+1=2ⁿ，
∴a_n=4ⁿ-2ⁿ，
（3）令t=2ⁿ，则a_n≥240可化为：
t²-t≥240，
解得：t≥16，
即2ⁿ≥16，n≥4，
故满足a_n≥240的最小正整数n=4

点评 本题考查的知识点是数列的递推公式，数列的通项公式，等比数列的证明，解指数不等式，二次不等式，是数列与不等式的综合应用，难度中档．