Question

4．如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ过点C，其中AB=30米，AD=20米．记三角形花园APQ的面积为S．
（1）设DQ=x米，将S表示成x的函数．
（2）当DQ的长度是多少时，S最小？并求S的最小值．
（3）要使S不小于1600平方米，则DQ的长应在什么范围内？

Answer 1

分析 （1）由于DC∥AB得出△QDC∽△QAP，从而AQ，AP用DQ表示，利用三角形的面积公式表示出面积；
（2）再利用基本不等式求最值，注意等号何时取得；
（3）由S不超过1600m²，建立不等式，从而可求DQ长的取值范围．

解答 解：（1）DQ=x，可得AQ=x+20，
由三角形的相似可得$\frac{x}{x+20}$=$\frac{30}{AP}$，
即AP=$\frac{30（x+20）}{x}$，
则S=$\frac{1}{2}$AP•AQ=$\frac{1}{2}$•$\frac{30（x+20）}{x}$•（x+20）
=15（x+$\frac{400}{x}$+40）；
（2）S=15（x+$\frac{400}{x}$+40）≥15（2$\sqrt{x•\frac{400}{x}}$+40）=1200，
当且仅当x=$\frac{400}{x}$，即x=20，等号成立．
此时x=20米，S有最小，且为1200米²；
（3）由S≥1600，即3x2-200x+1200≥0，
解得x≥60或x≤$\frac{20}{3}$，
由x＞0，可得0＜x≤$\frac{20}{3}$或x≥60，
即有DQ的范围是（0，$\frac{20}{3}$]∪[60，+∞）．

点评 本题考查将实际问题转化成数学问题的能力，考查解不等式，考查利用基本不等式求最值，属于中档题．