Question

15．已知{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项和前n项和S_n；
（2）令b_n=a_n•3ⁿ，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过${{a}_{3}}^{2}$=a₁a₉、a₁=1可知（1+2d）²=1+8d，进而计算可得结论；
（2）通过${b_n}={a_n}•{3^n}$=n•3ⁿ，利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）∵${{a}_{3}}^{2}$=a₁a₉，a₁=1
∴（1+2d）²=1+8d，
解得：d=1（d=0舍），
∴a_n=n，S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$；
（2）∵${b_n}={a_n}•{3^n}$=n•3ⁿ，
∴T_n=1•3+2•3²+…+n•3ⁿ，
3T_n=1•3²+3•3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹，
以上两式相减得：-2T_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹
=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-n•3ⁿ⁺¹
=-$\frac{3}{2}$-$\frac{2n-1}{2}$•3ⁿ⁺¹，
∴T_n=$\frac{3}{4}+\frac{2n-1}{4}•{3^{n+1}}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．