Question

已知函数f（x）=

1

x

+alnx（a≠0，a∈R）
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；
（Ⅱ）若在区间[1，e]上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＜0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求函数f(x)=

1

x

+lnx的导数，令导数等于零，解方程，再求出函数f（x）的导数和驻点，然后列表讨论，求函数f（x）的单调区间和极值；
（II）若在区间（0，e]上存在一点x₀，使得f（x₀）＜0成立，其充要条件是f（x）在区间（0，e]上的最小值小于0即可．利用导数研究函数在闭区间[1，e]上的最小值，先求出导函数f'（x），然后讨论研究函数在[1，e]上的单调性，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值．

解答：解：（I）因为f′(x)=-

1

x2

+

a

x

=

ax-1

x2

，（2分）
当a=1，f′(x)=

x-1

x2

，
令f'（x）=0，得x=1，（3分）
又f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

所以x=1时，f（x）的极小值为1．（5分）
f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；（6分）
（II）因为f′(x)=-

1

x2

+

a

x

=

ax-1

x2

，且a≠0，
令f'（x）=0，得到x=

1

a

，
若在区间[1，e]上存在一点x₀，使得f（x₀）＜0成立，
其充要条件是f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0即可．（7分）
（1）当x=

1

a

＜0，
即a＜0时，f'（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，
所以，f（x）在区间[1，e]上单调递减，
故f（x）在区间[1，e]上的最小值为f(e)=

1

e

+alne=

1

e

+a，
由

1

e

+a＜0，得a＜-

1

e

，即a∈(-∞，-

1

e

)（9分）
（2）当x=

1

a

＞0，即a＞0时，
①若e≤

1

a

，则f'（x）≤0对x∈[1，e]成立，
所以f（x）在区间[1，e]上单调递减，
所以，f（x）在区间[1，e]上的最小值为f(e)=

1

e

+alne=

1

e

+a＞0，
显然，f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0不成立（11分）
②若1＜

1

a

＜e，即a＞

1

e

时，则有

x	(1， 1 a )	1 a	( 1 a ，e)
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

所以f（x）在区间[1，e]上的最小值为f(

1

a

)=a+aln

1

a

，
由f(

1

a

)=a+aln

1

a

=a(1-lna)＜0，
得1-lna＜0，解得a＞e，即a∈（e，+∞）．（13分）
综上，由（1）（2）可知：a∈(-∞，-

1

e

)∪(e，+∞)符合题意．（14分）

点评：本题考查利用导函数来研究函数的极值以及在闭区间上的最值问题．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值，体现了转化的思想和分类讨论的思想，同时考查学生的计算能力．