题目内容

已知公差不为0的等差数列{a_n}的首项a₁=3，设数列的前项和为S_n，且 $数学公式$ 成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式及S_n；
（II）求 $数学公式$ ．

解：（Ⅰ）由a₁=3且 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 成等比数列得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ，
解得d=3．
∴数列{a_n}的通项公式a_n=3n，
∴S_n= $\text{[math]}$ ．
（2）∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ），
∴A_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ [（1- $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+…+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）]
= $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）依题意可求得等差数列{a_n}的公差，从而可数列{a_n}的通项公式及S_n；
（II）由（Ⅰ）里用裂项法可求得 $\text{[math]}$ ，累加即可求得A_n．
点评：本题考查等比数列的性质与裂项法求和，求得a_n的通项公式是关键，考查分析与转化的解决问题的能力，属于中档题．

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