Question

已知数列{a_n}的前n项之和为S_n，满足a_n+S_n=n．
（Ⅰ）证明：数列{a_n-1}为等比数列，并求通项a_n；
（Ⅱ）设b_n=（2-n）•（a_n-1），求数列{b_n}中的最大项的值．

Answer 1

分析：（1）由数列前n项和S_n与a_n的关系式，结合题中等式化简得2a_n=a_n-1+1（n≥2），再配方得到

an-1

an-1-1

=

1

2

，可得{a_n-1}为公比为

1

2

的等比数列，利用等比数列通项公式即可算出通项a_n；
（2）根据题意，得bn=(n-2)•

1

2n

，利用作差研究得到b_n+1-b_n=

1

2n+1

（3-n），因此可得当n≤3时数列{b_n}递增，而当n≥4时数列{b_n}递减，进而得到数列{b_n}中的最大项为b₃=b₃=

1

8

．

解答：解：（Ⅰ）由题意，得S_n=n-a_n，所以S_n-1=n-1-a_{n-（　　）1}，
两式相减得S_n-S_n-1=1+a_n-1-a_n，
整理，得2a_n=a_n-1+1，（n≥2）
配方得：2（a_n-1）=a_n-1-1
∴

an-1

an-1-1

=

1

2

，可得{a_n-1}为公比为

1

2

的等比数列
由已知式可得a₁+s₁=1，得a1=

1

2

∴a1-1=-

1

2

，可得an-1=(-

1

2

)(

1

2

)n-1=-

1

2n

，
n=1时也符合
因此，数列{a_n}的通项公式为an=1-

1

2n

…（7分）
（Ⅱ）bn=(2-n)(an-1)=(n-2)•

1

2n

可得bn+1-bn=(n-1)•

1

2n+1

-(n-2)•

1

2n

=

1

2n+1

（3-n）
∴当n=1，2时，b_n+1-b_n≥0；当n=3时，b_n+1-b_n=0；当n≥4时，b_n+1-b_n＜0
∴当n=3或4时，b_n达到最大值．即数列{b_n}中的最大项为b₃=b₃=

1

8

．…（14分）

点评：本题给出数列中S_n与a_n的关系式，求数列的通项公式并讨论另一个数列的最值，着重考查了等比数列的通项公式与数列的单调性等知识，属于中档题．