Question

（2011•焦作一模）已知函数f（x）=ax²-x-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=1时，证明：（x-1）（x²lnx-f（x））≥0．

Answer 1

分析：（I）利用导数的运算法则得出f′（x），通过对a分类讨论，利用一元二次方程与一元二次不等式的关系即可判断出其单调性；
（II）利用（I）可得：f（x）≥0，即x+lnx-x²≤0，分当0＜x≤1时，x²lnx-f（x）≤0，所以（x-1）（x²lnx-f（x））≥0，
当x＞1时，x2lnx-f(x)=lnx+x2(lnx+

1

x

-1)，令φ（x）=lnx+

1

x

-1，利用其导数可得φ（x）＞0，即可得出（x-1）（x²lnx-f（x））＞0．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）=

2ax2-x-1

x

令g（x）=2ax²-x-1，x∈（0，+∞）
（1）当a≤0时，g（x）＜0，此时f'（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上为减函数；
（2）当a＞0时，方程2ax²-x-1=0有两根x1=

1+ 1+8a

4a

，x2=

1- 1+8a

4a

，
且x₁＞0，x₂＜0，此时当x∈(0，

1+ 1+8a

4a)

）时，f'（x）＜0，
当x∈(

1+ 1+8a

4a

，+∞)时，f'（x）＞0，
故f（x）在（0，

1+ 1+8a

4a

）为减函数，在（

1+ 1+8a

4a

，+∞）为增函数；
所以当a≤0时，函数f（x）的递减区间为（0，+∞），
当a＞0时，函数f（x）的递增区间为（

1+ 1+8a

4a

，+∞），递减区间为（0，

1+ 1+8a

4a

）．
（Ⅱ）当a=1时，f（x）=x²-x-lnx，x²lnx-f（x）=x²lnx+x+lnx-x²，
由（Ⅰ）知f（x）在（0，1）为减函数，在（1，+∞）为增函数，
所以f（1）=0为f（x）的最小值，即f（x）≥0，所以x+lnx-x²≤0，
故当0＜x≤1时，x²lnx-f（x）≤0，所以（x-1）（x²lnx-f（x））≥0，
当x＞1时，x2lnx-f(x)=lnx+x2(lnx+

1

x

-1)，
令φ（x）=lnx+

1

x

-1，则
φ'（x）=

1

x

-

1

x2

＞0，所以φ（x）在（1，+∞）为增函数，可得出φ（x）＞0，
又因lnx＞0，x²＞0，所以lnx+x2(lnx+

1

x

-1)＞0，
故当x＞1时，（x-1）（x²lnx-f（x））＞0，
综上所述，当a=1时，（x-1）（x²lnx-f（x））≥0．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、分类讨论的思想方法等是解题的关键．