Question

（2009•奉贤区一模）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA₁=2，D是B₁C₁的中点，求点C与平面A₁BD的距离．

Answer 1

分析：法一：先建立空间直角坐标系，求出相关向量，利用向量垂直时数量积等于0求得法向量，结合点点C与平面A₁BD的距离即可求解．
法二：也可用等体积原理计算，即视点C与平面A₁BD的距离为三棱锥的高，结合等体积：

1

3

dS△A1DB=

1

3

AA1S△CDB求得点C与平面A₁BD的距离．

解答：解：法一：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设平面A₁BD的一个法向量

n

={x，y，z}
则

n • A1D =0 n • A1B =0

（2分）
求出平面A₁BD的一个法向量

n

={2，4，1}（4分）
然后用点到平面的距离公式d=|

n • CB

| n || CB |

|=

4

21

21

（6）
法二：也可用等体积原理计算出：
cos∠A1DB=-

1

85

，sin∠A1DB=

84

85

（2分）
S△A1DB=

1

2

×

5

2

×

17

2

×

84

85

=

21

4

（4分）

1

3

dS△A1DB=

1

3

AA1S△CDB=

1

3

，⇒d=

1

S△ADB

=

4 21

21

（6分）
∴点C与平面A₁BD的距离：

4 21

21

．

点评：本题考查点、线、面间的距离计算，正确分析题目的条件，找出几何体中的直线与平面之间的关系，即可获得解题思路．利用图形建立适当的空间直角坐标系是本题的关键．