Question

【题目】已知点，点是直线上的动点，过作直线， ，线段的垂直平分线与交于点．

(1)求点的轨迹的方程；

(2)若点是直线上两个不同的点，且的内切圆方程为，直线的斜率为，求的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】试题分析：（1）利用抛物线定义求解即可；

（2）设出的三个顶点的坐标，表示出的解析式，化简之后可得为关于的方程的两根，然后由韦达定理表示的长度，最后在中消去参数，故可以得到的取值范围.

试题解析： (1)据题设分析知，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为.

(2)设，点，点，

直线的方程为，

化简，得，

又因为内切圆的方程为．

所以圆心到直线的距离为1，即，

所以，

由题意，得，所以.

同理，有，

所以是关于的方程的两根，

所以因为

所以.

因为，

所以.

直线的斜率，则，

所以.

因为函数在上单调递增，所以当时， ，

所以，所以，

所以.所以的取值范围是.