Question

已知椭圆C的中心在原点O，离心率，右焦点为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆的上顶点为A，在椭圆C上是否存在点P，使得向量与共线？若存在，求直线AP的方程；若不存在，简要说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设椭圆C的方程为，由离心率焦点坐标可得及，再根据a²=b²+c²，联立方程组解出即可；
（2）假设椭圆C上是存在点P（x，y），使得向量与共线，由向量共线及点P在椭圆上得方程组，解出可得点P坐标，进而可求得直线AP方程；
解答：解：（1）设椭圆C的方程为，
∵椭圆C的离心率，右焦点为，∴，
∵a²=b²+c²，∴，
故椭圆C的方程为．       
（2）假设椭圆C上是存在点P（x，y），使得向量与共线，
∵，，∴，即，（1）
又∵点P（x，y）在椭圆上，∴（2），
由（1）、（2）组成方程组解得，或，
∴P（0，-1），或，
当点P的坐标为（0，-1）时，直线AP的方程为x=0，
当点P的坐标为时，直线AP的方程为，
故椭圆上存在满足条件的点P，直线AP的方程为x=0或．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解及向量共线问题，考查学生分析问题解决问题的能力．