Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=

1

3

，S_n=n（2n-1）a_n （n∈N*）．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析：（1）利用数列的前n项和与第n项的关系，得到关于数列的递推关系式，即可求得此数列的前几项．
（2）用数学归纳法证明数列问题时分为两个步骤，第一步，先证明当n=1时，结论显然成立，第二步，先假设当n=k+1时，有a_k=

1

(2k-1)(2k+1)

，利用此假设证明当n=k+1时，结论也成立即可．

解答：解：（1）∵S_n=n（2n-1）a_n，且a₁=

1

3

∴当n=2时，S₂=a₁+a₂=2（4-1）a₂，解得：a₂=

1

15

；
当n=3时，S₃=a₁+a₂+a₃=3（6-1）a₃，解得：a₃=

1

35

（2）由 （1）可以猜想{a_n}的通项为a_n=

1

(2n-1)(2n+1)

用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，由条件知等式成立；
②假设当n=k（k≥1且k∈N^*）等式成立，
即：a_k=

1

(2k-1)(2k+1)

那么当n=k+1时，由条件S_n=n（2n-1）a_n 有：
S_k=k（2k-1）a_k=k（2k-1）； 

1

(2k-1)(2k+1)

=

k

2k+1

，
∴S_k+1-S_k=a_k+1=（k+1）（2k+1）-

k

2k+1

，即
k（2k+3）a_k+1=

k

2k+1

，∴a_k+1=

1

(2k+1)(2k+3)

，
即：当n=k+1时等式也成立．
由①②可知，命题对一切n∈N^*都成立．

点评：本题主要考查数列递推式、数学归纳法，第（1）问要注意递推公式的灵活运用，第（2）问要注意数学归纳法的证明技巧．数学归纳法的基本形式设P（n）是关于自然数n的命题，若1°P（n₀）成立2°假设P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切大于等于n₀的自然数n都成立．