Question

已知如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，过D与PB垂直的平面分别交PB、PC于F、E。

（1）求证：DE⊥PC；
（2）当PA//平面EDB时，求二面角E-BD-C的正切值。

Answer 1

解：（1）∵平面DEF
∴
又∵平面ABCD
又∵
∴平面
∴平面
∴
从而DE⊥平面PBC
∴；
（2）连AC交BD于O，连EO，由PA//平面EDB及平面EDB∩平面PAC于EO知PA//EO
∵O是正方形ABCD的对角线AC的中点
∴E为PC的中点
又∵
∴
设PD=DC=a，取DC的中点H，作HG//CO交BD于G，
则HG⊥DB，EH//PD
∴平面CDB。
由三垂线定理知EG⊥BD
故为二面角E-BD-C的一个平面角。
易求得
∴
∴二面角E-BD-C的正切值为。