Question

已知抛物线x²=2py（p＞0）与直线y=kx+

p

2

交于A、B两点，O为坐标原点．
（I）当k=1时，求线段AB的长；
（II）当k在R内变化时，求线段AB中点C的轨迹方程；
（III）设l是该抛物线的准线．对于任意实数k，l上是否存在点D，使得

AD

•

BD

=0？如果存在，求出点D的坐标；如不存在，说明理由．

Answer 1

分析：将知抛物线x²=2py（p＞0）与直线y=kx+

p

2

联立．
（Ⅰ）当k=1时，代入可求AB=4p；
（Ⅱ）设线段AB中点C的坐标为（x，y），则当k变化时，

x=pk y=pk2+ p 2

，消去k，可得点C的轨迹方程．    　　　　　　　　　　　　　　　　　  
（Ⅲ）假设在l上存在一点D(x0，-

p

2

)，使

AD

•

BD

=0，结合x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-p²，y₁+y₂=2pk²+p，y1y2=

1

4

p2，可知对于任意实数k，在l上存在点D(pk，-

p

2

)，使得

AD

•

BD

=0．

解答：解：设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意得

x2=2py y=kx+ p 2

，∴x²-2pkx-p²=0，∴x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-p²，∴y₁+y₂=2pk²+p，y1y2=

1

4

 p2
（Ⅰ）当k=1时，x1+x2=2p，x1x2=-p2，y1+y2=3p， y1y2=

1

4

p2，∴AB=4p
（Ⅱ）设线段AB中点C的坐标为（x，y），则当k变化时，

x=pk y=pk2+ p 2

，消去k，得x2=py-

p2

2

．
即点C的轨迹方程为x2=py-

p2

2

．    　　　　　　　　　　　　　　　　　  
（Ⅲ）抛物线x²=2py（p＞0）的准线l的方程为y=-

p

2

假设在l上存在一点D(x0，-

p

2

)，使

AD

•

BD

=0，则有

x

2 0

 -(x1+x2)x0+x1x2+

1

4

p2+(y1+y2)

p

2

+y1y2=0　　　　①
将x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-p²，y₁+y₂=2pk²+p，y1y2=

1

4

p2，代入①式，整理得（x₀-pk）²=0，∴x₀=pk．
∴对于任意实数k，在l上存在点D(pk，-

p

2

)，使得

AD

•

BD

=0．

点评：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查轨迹问题，同时考查存在性问题，有一定的难度．