题目内容

已知函数f（x）=log₂ $数学公式$ ．
（1）判断并证明f（x）的奇偶性；
（2）若关于x的方程f（x）=log₂（x-k）有实根，求实数k的取值范围；
（3）问：方程f（x）=x+1是否有实根？如果有，设为x₀，请求出一个长度为 $数学公式$ 的区间（a，b），使x₀∈（a，b）；如果没有，请说明理由．

解：（1）由 $\text{[math]}$ 得-1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为（-1，1）；（2'）
因为f（-x）+f（x）=log₂ $\text{[math]}$ +log₂ $\text{[math]}$ =log₂ $\text{[math]}$ =log₂1=0，
所以f（-x）=-f（x），即f（x）是奇函数．（4'）
（2）方程f（x）=log₂（x-k）有实根，也就是方程 $\text{[math]}$ =x-k即k=x- $\text{[math]}$ 在（-1，1）内有解，
所以实数k属于函数y=x- $\text{[math]}$ =x+1- $\text{[math]}$ 在（-1，1）内的值域．（6'）
令x+1=t，则t∈（0，2），因为y=t- $\text{[math]}$ 在（0，2）内单调递增，所以t- $\text{[math]}$ ∈（-∞，1）．
故实数k的取值范围是（-∞，1）．（8'）
（3）设g（x）=f（x）-x-1=log₂ $\text{[math]}$ -x-1（-1＜x＜1）．
因为 $\text{[math]}$ ，且y=log₂x在区间（0，+∞）内单调递增，所以log₂ $\text{[math]}$ ＜log₂2³，
即4log₂ $\text{[math]}$ ＜3，亦即log₂ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ．
于是g（- $\text{[math]}$ ）=log₂ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ＜0． ①（10'）
又∵g（- $\text{[math]}$ ）=log₂ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ＞1- $\text{[math]}$ ＞0． ②（12'）
由①②可知，g（- $\text{[math]}$ ）•g（- $\text{[math]}$ ）＜0，
所以函数g（x）在区间（- $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）内有零点x₀．
即方程f（x）=x+1在（- $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）内有实根x₀．（13'）
又该区间长度为 $\text{[math]}$ ，因此，所求的一个区间可以是（- $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）．（答案不唯一）（14'）
分析：（1）先求出函数的定义域，看是否关于原点对称，再计算f（-x），利用 $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ） ^-1可得f（-x）=-f（x），从而得到函数为奇函数；
（2）方程f（x）=log₂（x-k）有实根，也就是方程 $\text{[math]}$ =x-k即k=x- $\text{[math]}$ 在（-1，1）内有解，从而得出实数k属于函数y=x- $\text{[math]}$ =x+1- $\text{[math]}$ 在（-1，1）内的值域．下面利用换元法求出其值域即可得到实数k的取值范围；
（3）设g（x）=f（x）-x-1=log₂ $\text{[math]}$ -x-1（-1＜x＜1）．用“二分法”逐步探求，先算区间（-1，1）的中点g（0）=-1＜0，由于g（x）在（-1，1）内单调递减，于是再算区间（-1，0）的中点g（- $\text{[math]}$ ）=log₂3- $\text{[math]}$ ＞0，然后算区间（- $\text{[math]}$ ，0）的中点 g（- $\text{[math]}$ ）＜0，最后算区间（- $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）的中点g（- $\text{[math]}$ ）＞0．
点评：本题主要考查了函数奇偶性的判断，二分法，以及对数的运算性质，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．属于对数函数的综合题．