Question

如图，半圆O的半径为，AB为直径，C为的中点，D为的三分之一分点，且的长等于两倍的长．连AD并延长交半圆O以C为切点的切线于E，则AE=________．

Answer 1

分析：由题设条件，AE存在于三角形ACE中，可根据题设条件求出此三角形的三个角，又三角形中的一个边AC可以求出，由此，可以利用正弦定理求出线段AE的长度．
解答：由题设，AB为直径，C为的中点，D为的三分之一分点，且的长等于两倍的长．
知：∠ACB=90°，∠CAD=∠CAE=15°，
又连AD并延长交半圆O以C为切点的切线于E，CE是切线，
所以∠ECB=∠CAB=45°，由此知∠ACE=135°
所以∠CEA=30°
在RT△ACB中，可以解得AC=
由正弦定理知
解得AE=
故答案为：
点评：本题考点是与圆有关的比例线段，由于圆本身的特征，对与其有关的成比例线段的考查是考试的一个热点，所用的知识有同弧反对的圆周角相等，圆周角等于圆心角的一半，以及切割线定理等，做题时要根据这些特征灵活选取，组合出做题的思路．本题中根据这些知识把问题归结到一个三角形中来研究，给利用解三角形的相关知识解决问题带来了方便．