Question

如图，已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面CDAB，ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=2，PA=AB=1．
（1）求证：PD⊥AB；
（2）在线段PB上找一点E，使AE∥平面PCD；
（3）求点D到平面PBC的距离．

Answer 1

分析：（1）欲证AB⊥PD，可证AB⊥平面PAD，而根据线面垂直的判定定理可知只需证PA⊥AB，AB⊥AD，PA∩AD=A即可；
（2）取线段PB的中点E，PC的中点F，连接AE，EF，DF，EF是△PBC中位线，则EF∥BC，由线线平行得到线面平行；
（3）设点D到平面PBC的距离为h，根据等体积法V_P-BDC=V_D-PBC，建立等量关系，求出h即可．

解答：解：（1）∵PA⊥平面CDAB，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB，（2分）
又AB⊥AD，PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，（3分）
∵PD?平面PAD，∴AB⊥PD．（4分）
（2）取线段PB的中点E，PC的中点F，连接AE，EF，DF，
EF是△PBC中位线，∴EF∥BC，EF=

BC

2

；（6分）
又AD∥BC，AD=

BC

2

，∴四边形EFDA是平行四边形，（8分）
∴AE∥DF，又AE?平面PDC，DF?平面PDC，∴AE∥平面PDC，
故线段PB的中点E是符合题意要求的点．（10分）
（3）设点D到平面PBC的距离为h．∵BC⊥AB，BC⊥PA，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，
PB=

PA2+AB2

=

2

，S_△PBC=

1

2

PB•BC=

2

，S_△BDC=

1

2

BC•AB=1（12分）
∵V_P-BDC=V_D-PBC，即

1

3

S_△BDC•PA=

1

3

S_△PBC•h，∴h=

2

2

．（14分）

点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．