Question

已知圆C：（x-3）²+（y-4）²=4，圆D的半径为3，圆心在直线x+y-2=0上，且与圆C外切，
（1）求圆D的方程；
（2）P（x，y）在圆C上，求z=

y-2

x+1

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据圆心在直线x+y-2=0上，设出圆心D坐标为（a，2-a），根据圆C与圆D外切，得到圆心距为两半径相加，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出圆心D坐标，即可得到圆D方程；
（2）所求式子表示圆C上点P与（-1，2）确定直线斜率，求出相切时的斜率，即可确定出范围．

解答：解：（1）由圆心D在直线x+y-2=0上，设圆心D（a，2-a），
∵圆D与圆C外切，∴|CD|=2+3=5，即

(a-3)2+(2-a-4)2

=5，
解得：a=3或a=-2，即圆心D（3，-1）或（-2，4），
则圆D方程为：（x-3）²+（y+1）²=9或（x+2）²+（y-4）²=9；
（2）根据题意得：Z=

y-2

x+1

表示圆C上点P与（-1，2）确定直线斜率，
设此直线的斜率为k，直线方程为y-2=k（x+1），即kx-y+k+2=0，
当直线与圆C相切时，圆心到直线的距离d=r，即

|3k-4+k+2|

k2+1

=2，
解得：k=0或k=

4

3

，
则Z=

y-2

x+1

的取值范围是[0，

4

3

]．

点评：此题考查了圆的标准方程，圆与圆的位置关系，以及直线与圆的位置关系，弄清题意是解本题的关键．