Question

数列{a_n}是递增的等差数列，且a₁+a₆=-6，a₃•a₄=8．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n的最小值；
（3）求数列{|a_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）依题意，解方程组

a1+a6=-6 a3•a4=8

?

a3+a4=-6 a3•a4=8

可得a₃=-4，a₄=-2，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）知，a_n=2n-10，于是可得S_n=(n-

9

2

)2-

81

4

，继而可得S_n的最小值；
（3）由a_n≥0解得n≥5，分1≤n≤5与n≥6讨论，可分别求得数列{|a_n|}的前n项和T_n．

解答：解：（1）由

a1+a6=-6 a3•a4=8

得：

a3+a4=-6 a3•a4=8

，
∴a₃、a₄是方程x²+6x+8=0的二个根，
∴x₁=-2，x₂=-4；
∵等差数列{a_n}是递增数列，
∴a₃=-4，a₄=-2，
∴公差d=2，a₁=-8．
∴a_n=2n-10；
（2）∵S_n=

n(a1+an)

2

=n²-9n=(n-

9

2

)2-

81

4

，
∴（S_n）_min=S₄=S₅=-20；
（3）由a_n≥0得2n-10≥0，解得n≥5，此数列前四项为负的，第五项为0，从第六项开始为正的．
当1≤n≤5且n∈N^*时，
T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|
=-（a₁+a₂+…+a_n）
=-S_n
=-n²+9n；
当n≥6且n∈N^*时，
T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a₅|+|a₆|+…+|a_n|
=-（a₁+a₂+…+a₅）+（a₆+…+a_n）
=S_n-2S₅
=n²-9n-2（25-45）
=n²-9n+40．
∴T_n=

9n-n2，1≤n≤5，n∈N* n2-9n+40，n≥6，n∈N*

．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列的求和，突出方程思想与分类讨论思想的综合运用，属于中档题．