Question

已知等差数列{a_n}满足：a₃=7，a₅+a₇=26．{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求a_n及S_n；
（2）令bn=

an

3n

(n∈N*)，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据已知，利用基本量a₁，d表示，求出等差数列的首项和公差，进而可求通项及前n项和
（Ⅱ）先写出b_n通项公式，可以看出数列{b_n}是由等差数列和等比数列的积构成，因此采取错位相减求和．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}，公差为d
∵a₃=7，a₅+a₇=26
∴

a1+2d=7 2a1+10d=26

解得a₁=3，d=2
∵an=a1+(n-1)d，Sn=

n(a1+an)

2

∴a_n=2n+1，S_n=n（n+2）（4分）
（2）由（1）知bn=

2n+1

3n

∴Tn=3•

1

3

+5• 

1

32

 +…+ (2n+1)•

1

3n

1

3

Tn=3•

1

32

+5•

1

33

+…+(2n-1)•

1

3n

+(2n+1)•

1

3n+1

两式相减可得，

2

3

T_n=1+2（

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

）-

2n+1

3n+1

=1+2×

1 9 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

2n+1

3n+1

=

4

3

-

1

3n

-

2n+1

3n+1

∴Tn=2-

n+2

3n

（12 分）

点评：本题考查等差数列的通项公式以及数列求和的方法，对于数列求和的方法要根据数列的特点采取不同求和方法，像本题中数列{b_n}是由等差数列和等比数列的积构成，因此采取错位相减的求和方法．