Question

【题目】如图，四面体，，，，.

（1）若中点是，求证：面；

（2）若是线段上的动点，是面上的动点，且线段，的中点是，求动点的轨迹与四面体围成的较小的几何体的体积.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）动点的轨迹是以为球心，半径为的球面，体积.

【解析】

（1）证明出平面可得出，再由三线合一得出，利用直线与平面垂直的判定定理可得出平面；

（2）证明平面，可得出，由直角三角形的性质可得出，可知动点的轨迹是以为球心，半径的球面，计算出的大小，可得出所求几何体占球的比例，由此可得出所求几何体的体积.

（1），，，，平面，

平面，.

，为的中点，.

，因此，平面；

（2）如下图所示：

，，，，

又，，平面，

平面，，，则.

在中，为斜边的中点，则.

由（1）知，平面，且，.

所以，点的轨迹是以为球心，半径为的球面.

在中，，，，则，

，所以，动点的轨迹与四面体围成的较小的几何体为球体的.

因此，所求几何体的体积为.