Question

（2011•唐山一模）椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）与直线x+y-1=0相交于A、B两点，且OA丄OB（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求椭圆E与圆x²+y²=1的交点坐标：
（Ⅱ）当|AB|=

10

2

时，求椭圆E的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）联立直线方程和椭圆方程，由根与系数关系求出A，B的横纵坐标的和与积，由

OA

•

OB

=0得到a，b的关系，再联立椭圆方程和圆的方程求解交点坐标；
（Ⅱ）直接由弦长公式列出关于a，b的关系式，结合（Ⅰ）中得到的a，b的关系式联立方程组求解a²，b²的值，则椭圆方程可求．

解答：解：（Ⅰ）联立

x+y-1=0 x2 a2 + y2 b2 =1

，得（a²+b²）x²-2a²x+a²-a²b²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=

2a2

a2+b2

，x1x2=

a2-a2b2

a2+b2

，
y₁y₂=（1-x₁）（1-x₂）=1-（x₁+x₂）+x₁x₂
=1-

2a2

a2+b2

+

a2-a2b2

a2+b2

=

b2-a2b2

a2+b2

．
∵OA⊥OB，∴

OA

•

OB

=0，
即x1x2+y1y2=

a2-a2b2

a2+b2

+

b2-a2b2

a2+b2

=

a2+b2-2a2b2

a2+b2

=0．
∴a²+b²=2a²b²，b2=

a2

2a2-1

．
直线x+y-1=0在x、y轴截距为1，∵a＞b＞0，且OA⊥OB，∴a＞1，0＜b＜1，
联立

x2 a2 + y2 b2 =1 x2+y2=1

，得x2=

a2-a2b2

a2-b2

=

a2-a2• a2 2a2-1

a2- a2 2a2-1

=

1

2

．
∴x=±

2

2

，代入x²+y²=1，得：y=±

2

2

．
∴椭圆E与圆x²+y²=1的交点坐标为：
(-

2

2

，-

2

2

)、(-

2

2

，

2

2

)、(

2

2

，-

2

2

)、(

2

2

，

2

2

)；
（Ⅱ）由弦长公式得，
|AB|=

1+(-1)2

|x1-x2|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

( 2a2 a2+b2 )2-4• a2-a2b2 a2+b2

=

2 2 ab

a2+b2

a2+b2-1

=

10

2

．
即16a²b²（a²+b²-1）=5（a²+b²）²．
又a²+b²=2a²b²，解得：a2=2，b2=

2

3

，或a2=

2

3

，b2=2（舍）．
∴a2=2，b2=

2

3

．
∴椭圆E的方程为：

x2

2

+

3y2

2

=1．

点评：本题考查了圆与圆锥曲线的综合，训练了数量积判断两个向量垂直的条件，训练了弦长公式的应用，考查了学生的计算能力，是难题．