题目内容
已知函数
（1）求证函数f（x）在（2，4）上为增函数；
（2）求函数f（x）在[2，4]上的最大值和最小值，并求出值域．
解：（1）设x1，x2∈（2，4），且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=
=
，
因为x1，x2∈（2，4），且x1＜x2，
所以x1-x20，x2-1＞0，
故f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
所以f（x）为增函数．
（2）由（1）知：f（x）为[2，4]上的增函数，
所以f（x）的最大值为fmax=f（4）=-
；f（x）的最小值为fmin（x）=f（2）=-1．
所以f（x）的值域为[-1，-]．
分析：（1）利用函数单调性的定义即可证明；
（2）由（1）知f（x）的单调性，据单调性即可求得函数最大值、最小值，进而得到其值域；
点评：本题考查函数单调性的证明及其应用，考查函数最值的求法，证明单调性常用的方法：①用定义；②用导数．
则f（x1）-f（x2）=
=，因为x1，x2∈（2，4），且x1＜x2，
所以x1-x20，x2-1＞0，
故f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
所以f（x）为增函数．
（2）由（1）知：f（x）为[2，4]上的增函数，
所以f（x）的最大值为fmax=f（4）=-
；f（x）的最小值为fmin（x）=f（2）=-1．所以f（x）的值域为[-1，-
]．分析：（1）利用函数单调性的定义即可证明；
（2）由（1）知f（x）的单调性，据单调性即可求得函数最大值、最小值，进而得到其值域；
点评：本题考查函数单调性的证明及其应用，考查函数最值的求法，证明单调性常用的方法：①用定义；②用导数．
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在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“一阶比增函数”；若y=
在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“二阶比增函数”．我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为Ω1，所有“二阶比增函数”组成的集合记为Ω2．
（Ⅰ）已知函数f（x）=x3-2hx2-hx，若f（x）∈Ω1，且f（x）∉Ω2，求实数h的取值范围；
（Ⅱ）已知0＜a＜b＜c，f（x）∈Ω1且f（x）的部分函数值由下表给出，
求证：d（2d+t-4）＞0；
（Ⅲ）定义集合Φ={f（x）|f（x）∈Ω2，且存在常数k，使得任取x∈（0，+∞），f（x）＜k}，请问：是否存在常数M，使得?f（x）∈Φ，?x∈（0，+∞），有f（x）＜M成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，说明理由．
在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“一阶比增函数”；若y=在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“二阶比增函数”．我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为Ω1，所有“二阶比增函数”组成的集合记为Ω2．（Ⅰ）已知函数f（x）=x3-2hx2-hx，若f（x）∈Ω1，且f（x）∉Ω2，求实数h的取值范围；
（Ⅱ）已知0＜a＜b＜c，f（x）∈Ω1且f（x）的部分函数值由下表给出，
| x | a | b | c | a+b+c |
| f（x） | d | d | t | 4 |
（Ⅲ）定义集合Φ={f（x）|f（x）∈Ω2，且存在常数k，使得任取x∈（0，+∞），f（x）＜k}，请问：是否存在常数M，使得?f（x）∈Φ，?x∈（0，+∞），有f（x）＜M成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，说明理由．