题目内容
已知函数
，g（x）=x+a（a＞0）（1）求a的值，使点M（f（x），g（x））到直线x+y-1=0的最短距离为
；（2）若不等式
在x∈[1，4]恒成立，求a的取值范围．
【答案】分析：（1）先用点到直线的距离公式表示距离，利用换元法，进而利用二次函数的配方法即可求解；
（2）将绝对值符号化去，从而转化为
上恒成立，进而利用换元法转化为at2-2t+a2≤0在t∈[1，2]上恒成立，从而得解．
解答：解：（1）由题意得M到直线的距离
，令
则
∵t≥0∴a≥1时，
即t=0时，
∴a=30＜a＜1时，dmin=0，不合题意
综上a=3（6分）
（2）由
即
上恒成立
也就是
在[1，4]上恒成立
令
，且x=t2，t∈[1，2]
由题意at2-2t+a2≤0在t∈[1，2]上恒成立
设ϕ（t）=at2-2t+a2，则要使上述条件成立，只需
即满足条件的a的取值范围是
（13分）
点评：本题以函数为载体，考查点线距离，考查恒成立问题，关键是掌握距离公式，熟练恒成立问题的处理策略．
（2）将绝对值符号化去，从而转化为
上恒成立，进而利用换元法转化为at2-2t+a2≤0在t∈[1，2]上恒成立，从而得解．解答：解：（1）由题意得M到直线的距离
，令则
∵t≥0∴a≥1时，
即t=0时，
∴a=30＜a＜1时，dmin=0，不合题意综上a=3（6分）
（2）由
即
上恒成立也就是
在[1，4]上恒成立令
，且x=t2，t∈[1，2]由题意at2-2t+a2≤0在t∈[1，2]上恒成立
设ϕ（t）=at2-2t+a2，则要使上述条件成立，只需
即满足条件的a的取值范围是
（13分）点评：本题以函数为载体，考查点线距离，考查恒成立问题，关键是掌握距离公式，熟练恒成立问题的处理策略．
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