Question

过点（0，4）可作________条直线与双曲线y²-4x²=16有且只有一个公共点．

Answer 1

3
分析：设直线方程联立消元后，根据k²-4=0，或k²-4≠0且△=0求得k；直线的斜率不存在时，不合题意，综合可得直线条数．
解答：当直线无斜率时，方程为x=0，代入y²-4x²=16，可解得y=±4，故直线与曲线有2个公共点，不合题意；
当直线斜率存在时，设方程为y=kx+4，代入双曲线方程化简得（k²-4）x²+8kx=0
要使直线与双曲线只有一个公共点，需上述方程只有一根或两实根相等，
∴k²-4=0，或k²-4≠0且△=0，解得k=±2，或k=0
故有3条直线与双曲线y²-4x²=16有且只有一个公共点．
故答案为：3
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题，突出考查了数形结合、分类讨论的应用，属中档题．