Question

设数列{a_n}中，相邻两项a_n，a_n+1是方程x²-nx+b_n=0的两根，且a₁₀=7，则b₁₇=

66

．

Answer 1

分析：由a_n，a_n+1是方程x²-nx+b_n=0的两根，知a_n+a_n+1=n，a_n•a_n+1=b_n．所以a_n+2-a_n=（a_n+2+a_n+1）-（a_n+1+a_n）=（n+1）-n=1，故a₁，a₃，…，a_2n+1和a₂，a₄，…，a_2n都是公差为1的等差数列，所以b₁₇=a₁₇a₁₈，由此能求出b₁₇．

解答：解：：∵a_n，a_n+1是方程x²-nx+b_n=0的两根，
∴a_n+a_n+1=n，a_n•a_n+1=b_n．
∴a_n+2-a_n=（a_n+2+a_n+1）-（a_n+1+a_n）=n+1-n=1，
∴a₁，a₃，…，a_2n+1和a₂，a₄，…，a_2n都是公差为1的等差数列，
∵a₁₀=7，∴a₁₀=a₂+（5-1）×1=7，解得a₂=3，
∵a₁+a₂=1，解得a₁=-2，
∵b₁₇=a₁₇•a₁₈，
∵a₁₇=a₁+（9-1）×1=-2+8=6；
a₁₈=a₂+（9-1）×1=3+8=11，
∴b₁₇=a₁₇•a₁₈=6×11=66；
故答案为：66．

点评：本题考查数列与函数的综合应用，对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，仔细解答，注意韦达定理的灵活运用．