Question

已知函数f(x)=

x2-x+3

x

，
（Ⅰ）判定函数的奇偶性；
（Ⅱ）求函数的值域．

Answer 1

分析：（1）先求出函数的定义域，看是否关于原点对称，定义域关于原点对称时，再看f（-x）与函数f（x）的关系，依据奇偶性的定义做出判断．
（2）利用基本不等式求值域是解决函数值域问题的一种方法，关键要用到基本不等式的放缩办法，要注明等号成立的条件．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
又f(x)=x+

3

x

-1∵f(-x)+f(x)=(-x-

3

x

-1)+(x+

3

x

-1)=-2≠0f（-x）≠-f（x）
f(-x)-f(x)=-x-

3

x

-1-(x+

3

x

-1)=-(2x+

6

x

)≠0∴f（-x）≠f（x）
故f（x）为非奇非偶函数
（Ⅱ）当x＞0时，x+

3

x

-1≥2

3

-1
当x＜0时，x+

3

x

-1=[(-x)+

3

(-x)

]-1≤-2

3

-1，
∴函数f（x）的值域是(-∞，-2

3

-1]∪[2

3

-1，+∞)

点评：本题考查求函数的定义域、值域的方法，函数奇偶性的判断方法，解答关键是利用函数解析式的特点选择合适的方法求解函数的值域，本题注意到函数表达式的两项均为正项，积为定值．