Question

H：x-y+z=2为坐标空间中一平面，L为平面H上的一直线．已知点P（2，1，1）为L上距离原点O最近的点，则

 

为L的方向向量．

Answer 1

分析：根据所给的平面的方程，写出平面的一个法向量，设出直线的一个方向向量，根据两个向量之间的关系得到两个向量的数量积等于0，求出未知数，得到要求的直线的方向向量．

解答：解：∵x-y+z=2为坐标空间中一平面
∴平面的一个法向量是

n

=(1，-1，1)
设直线L的方向向量为

d

=(2，b，c)
∵L在H上，
∴

d

与平面H的法向量

n

=(1，-1，1)垂直
故

d

•

n

=0?2-b+c=0
∵P（2，1，1）为直线L上距离原点O最近的点，
∴

.

OP

⊥L
故

OP

•

d

=0?(2，1，1)•(2，b，c)=0?4+b+c=0
解得b=-1，c=-3
故答案为：（2，-1，-3）

点评：本题考查空间向量运算的坐标表示，本题解题的关键是写出平面的法向量，然后根据两个向量之间的关系得到结论．