Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BC、C₁D₁的中点．求证：
（1）平面D₁AC⊥平面B₁D₁BD；  
（2）直线EF∥平面D₁AC．

Answer 1

分析：（1）欲证平面D₁AC⊥平面B₁D₁BD，只需证明平面D₁AC经过平面B₁D₁BD的一条垂线即可，根据正方体的性质，易证平面D₁AC中的直线AC垂直平面B₁D₁BD．
（2）欲证直线EF∥平面D₁AC，只需证明直线EF平行于平面D₁AC上一条直线即可，根据E，F分别为BC、C₁D₁的中点，可证明四边形D₁FEO为平行四边形，从而得到EF平行于平面D₁AC中的直线D₁O．则直线EF∥平面D₁AC．

解答：解：（1）∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁B⊥平面ABCD，∴B₁B⊥AC
又∵AC⊥BD，BD∩B₁B=O，∴AC⊥平面平面B₁D₁BD，
∴平面D₁AC⊥平面B₁D₁BD
（2）连接OE，D₁O，∵O，E分别为BC，BD中点，∴OE∥

1

2

BC，
∵DC∥D₁C，F为D₁C的中点，∴D₁F∥

1

2

BC，
∴OE∥D₁F，且OE=D₁F，
∴四边形D₁FEO为平行四边形，
∴EF∥D₁O，又∵D₁O?平面D₁AC，
∴直线EF∥平面D₁AC．

点评：本题主要考查了正方体中面面垂直，线面垂直的证明，综合考查了学生的空间想象力，识图能力，以及计算能力．