Question

（2009•大连二模）已知定点A（0，2），B（0，-2），C（2，0），动点P满足：

AP

•

BP

=m|

pc

|2
（I）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型；
（II）当m=2时，设点P（x，y）（y≥0），求

y

x-8

的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出动点坐标，求出向量

AP

，

BP

，

PC

的坐标，直接代入

AP

•

BP

=m|

pc

|2后整理得到动点P的轨迹方程，然后对m分类说明方程所表示的曲线；
（Ⅱ）当m=2时，得到点P的具体方程，求

y

x-8

的取值范围，其几何意义就是轨迹上的动点与定点（8，0）连线的斜率范围，用圆心到直线的距离等于半径求解．

解答：解：（Ⅰ）设动点的坐标为P（x，y），则

AP

=（x，y-2），

BP

=（x，y+2），

PC

=（2-x，-y）
∵

AP

•

BP

=m|

PC

|²，
∴(x，y-2)•(x，y+2)=m(

(2-x)2+(-y)2

)2
∴x²+y²-4=m[（x-2）²+y²]
即（1-m）x²+（1-m）y²+4mx-4m-4=0，
若m=1，则方程为x=2，表示过点（2，0）且平行于y轴的直线；
若m≠1，则方程化为：(x-

2m

m-1

)2+y2=(

2

m-1

)2，表示以（

2m

m-1

，0）为圆心，以

2

|1-m|

 为半径的圆；   
（Ⅱ）当m=2时，方程化为（x-4）²+y²=4；
设

y

x-8

=k，则y=kx-8k，圆心（4，0）到直线y=kx-8k的距离d=

|4k-8k|

k2+1

=2时，
解得k=±

3

3

，又y≥0，所以点P（x，y）所在图形为上半个圆（包括与x轴的两个交点），
故直线与半圆相切时k=-

3

3

；
当直线过x轴上的两个交点时知k=0；
因此

y

8-x

的取值范围是[-

3

3

，0]．

点评：本题考查了圆锥曲线的方程的求法，练习了向量在解析几何中的应用，解答（Ⅱ）的关键在于对式子

y

x-8

的几何意义的理解，是中档题．