Question

投掷A，B，C三个纪念币，正面向上的概率如下表所示（0＜a＜1）．

将这三个纪念币同时投掷一次，设ξ表示出现正面向上的个数．
（1）求ξ的分布列及数学期望；
（2）在概率P（ξ=i）（i=0，1，2，3）中，若P（ξ=1）的值最大，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意知本题是一个独立重复试验，看出变量的所有可能取值，根据独立重复试验的概率公式写出变量取不同值时的概率，写出分布列和期望．
（2）由题意知本题要使的P（ξ=1）的值最大，题目最容易考虑到的一种方法是把P（ξ=1）的值同其他几个变量的概率值进行比做差比较，使得差大于零，解不等式组，得到a的取值范围．

解答：解：（1）由题意知ξ个正面向上，3-ξ个背面向上．
ξ的可能取值为0，1，2，3．
根据独立重复试验的概率公式得到变量的分布列，
P(ξ=0)=

C

0 1

(1-

1

2

)

C

0 2

(1-a)2=

1

2

(1-a)2，
P(ξ=1)=

C

1 1

•

1

2

C

0 2

(1-a)2+

C

0 1

(1-

1

2

)

C

1 2

a(1-a)=

1

2

(1-a2)，P(ξ=2)=

C

1 1

•

1

2

C

1 2

a(1-a)+

C

0 1

(1-

1

2

)

C

2 2

a2=

1

2

(2a-a2)，
P(ξ=3)=

C

1 1

•

1

2

C

2 2

a2=

a2

2

．
∴ξ的分布列为

∴ξ的数学期望为Eξ=0×

1

2

(1-a)2+1×

1

2

(1-a2)+2×

1

2

(2a-a2)+3×

a2

2

=

4a+1

2

．
（2）P(ξ=1)-P(ξ=0)=

1

2

[(1-a2)-(1-a)2]=a(1-a)，
P(ξ=1)-P(ξ=2)=

1

2

[(1-a2)-(2a-a2)]=

1-2a

2

，
P(ξ=1)-P(ξ=3)=

1

2

[(1-a2)-a2]=

1-2a2

2

．
由

a(1-a)≥0 1-2a 2 ≥0 1-2a2 2 ≥0

和0＜a＜1，
得0＜a≤

1

2

，
即a的取值范围是(0，  

1

2

]．

点评：本题是一个综合题，解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单的多．