Question

设各项均为正数的数列{a_n}满足a₁=2，（n∈N*），
（Ⅰ）若a₂=，求a₃，a₄，并猜想a₂₀₀₈的值（不需证明）；
（Ⅱ）若2≤a₁a₂…a_n＜4对n≥2恒成立，求a₂的值。

Answer 1

解：（Ⅰ）因，
故，
由此有，
故猜想|a_n|的通项为，
从而；
(Ⅱ)令x_n=log₂a_n，则，故只需求x₂的值。
设S_n表示x_n的前n项和，则，
由得≤S_n=x₁+x₂+…+x_n＜2(n≥2)，
因上式对n=2成立，可得≤x₁+x₂，
又由a₁=2，得x₁=1，故x₂≥，
由于a₁=2，(n∈N*)，得(n∈N*)，
即，
因此数列｛x_n+1+2x_n｝是首项为x₂+2，公比为的等比数列，
故x_n+1+2x_n=(x₂+2)(n∈N*)，
将上式对n求和得
S_n+1-x₁+2S_n=(x₂+2)(1++…+)=(x₂+2)(2-)(n≥2)，
因S_n＜2，S_n+1＜2（n≥2）且x₁=1，
故(x₂+2)(2-)＜5（n≥2），
因此（n≥2），
下证x₂≤，
若不然，假设x₂＞，
则由上式知，不等式2^n-1＜对n≥2恒成立，但这是不可能的，
因此x₂≤；
又x₂≥，
故x₂=，
所以。