题目内容

设点F（ $数学公式$ ，0）（p为正常数），点M在x轴的负半轴上，点P在y轴上，且 $数学公式$ ， $数学公式$ ．
（Ⅰ）当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；
（Ⅱ）直线l过点F且与曲线C相交于不同两点A，B，分别过点A，B作直线l₁：x=- $数学公式$ 的垂线，对应的垂足分别为A₁，B₁，求 $数学公式$ 的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记 $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ，λ= $数学公式$ ，求λ的值．

解：（1）设N（x，y），M（a，0），（a＞0），P（0，b）
由 $\text{[math]}$ 可得，x=-a，y=2b①
由 $\text{[math]}$ 可得 $\text{[math]}$ ②
①②联立可得y²=2px（p＞0）
（2）由抛物线的定义可得AF=AA₁，BF=BB₁，AA₁∥MF∥BB₁
∴∠AFA₁=∠AA₁F=∠MFA₁，∠BFB₁=∠BB₁F=∠MFB₁
∴∠A₁FB₁=∠B₁FM+∠MFA₁= $\text{[math]}$
即FA₁⊥FB₁∴ $\text{[math]}$ =0
（3）设直线AB的方程为：x=ky+ $\text{[math]}$ A（x₁，y₁） B（x₂，y₂）
联立方程 $\text{[math]}$ 整理可得y²-2pky-p²=0
则y₁+y₂=2pk，y₁y₂=-p² $\text{[math]}$ x₁+x₂=k（y₁+y₂）+p=2pk²+p
λ= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$

分析：（1）设N（x，y），M（a，0），（a＞0），P（0，b），由 $\text{[math]}$ 可得，x=-a，y=2b，由 $\text{[math]}$ 可得 $\text{[math]}$ ，从而可求x，y满足的方程
（2）由抛物线的定义可得AF=AA₁，BF=BB₁，AA₁∥MF∥BB₁
从而有∠AFA₁=∠AA₁F=∠MFA₁，∠BFB₁=∠BB₁F=∠MFB₁
则有∠AFA₁=∠AA₁F=∠MFA₁，∠BFB₁=∠BB₁F=∠MFB₁
∠A₁FB₁=∠B₁FM+∠MFA₁= $\text{[math]}$
（3）设直线AB的方程为：x=ky+ $\text{[math]}$ A（x₁，y₁） B（x₂，y₂）
联立方程 $\text{[math]}$ 整理可得y²-2pky-p²=0
则y₁+y₂=2pk，y₁y₂=-p² $\text{[math]}$ x₁+x₂=k（y₁+y₂）+p=2pk²+p
λ= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 代入整理可求
点评：本题以平面向量向量的基本运算为载体，重点考查了抛物线的性质的应用，直线与抛物线的位置关系等知识的综合运用，解决本题（2）的关键是要熟练掌握抛物线的定义发现AF=AA₁，BF=BB₁，解决（3）时要注意设直线方程时为了避免讨论斜率k的值是否存在，故可设直线AB的方程为：x=ky+ $\text{[math]}$