Question

已知函数f(x)=

2

sin(ωx-

π

6

)(ω＞0)的最小正周期是4π．
（1）求ω的值；
（2）求f(

5π

6

)的值；
（3）若f(2θ)=-

2

3

，求cos(2θ-

π

3

)的值．

Answer 1

分析：（1）由已知的周期，利用周期公式求出ω的值即可；
（2）由ω的值确定出f（x）解析式，即可确定出f（

5π

6

）的值；
（3）根据f（2θ）=-

2

3

，求出sin（θ-

π

6

）的值，原式利用二倍角的余弦函数公式化简后，将sin（θ-

π

6

）的值代入计算即可求出值．

解答：解：（1）∵f（x）=

2

sin（ωx-

π

6

）的最小正周期为4π，ω＞0，
∴

2π

|ω|

=4π，即ω=

1

2

；
（2）∵ω=

1

2

，∴f（x）=

2

sin（

1

2

x-

π

6

），
则f（

5π

6

）=

2

sin（

5π

12

-

π

6

）=

2

sin

π

4

=

2

×

2

2

=1；
（3）∵f（2θ）=

2

sin（θ-

π

6

）=-

2

3

，即sin（θ-

π

6

）=-

1

3

，
则cos（2θ-

π

3

）=1-2sin²（θ-

π

6

）=

7

9

．

点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，三角函数的化简求值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．