Question

已知函数f（x）的定义域[-1，5]，部分对应值如表

x	-1		4	5
f（x）	1	2	2	1

f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示
下列关于函数f（x）的命题；
①函数f（x）的值域为[1，2]；
②函数f（x）在[0，2]上是减函数；
③如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a有4个零点．
其中真命题为    （填写序号）

Answer 1

【答案】分析：观察函数y=f′（x）的图象知：求出极值点，比较端点值，可以求出值域；在区间[-1，0）和（2，4）内，f′（x）＞0，在（0，2）上是减函数，由此能求出f（x）的单调递增区间；结合函数的图象和表格知：函数f（x）的定义域[-1，5]内，在x=0处取极大值f（0）=2，在x=2处取极小值f（2），在x=4处取极大值f（4）=2，再由f（-1）=1．f（5）=1，由此即可求出f（x）的最值；根据函数的单调性求出了f（x）的值域y=f（x）-a有零点，得f（x）=a，根据a的范围进行判断；
解答：解：∵f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示：
∴观察图象知：在区间[-1，0）和（2，4）内，f′（x）＞0，f（x）的单调递增区间是[-1，0]和[2，4]；

在（0，2）和（4，5）有f′（x）＞0，f（x）为减函数；
故②正确；
两个极大值点：
结合函数的图象知：函数f（x）的定义域[-1，5]内，
在x=0处取极大值f（0）=2，
在x=2处取极小值f（2），
在x=4处取极大值f（4）=2，
又∵f（-1）=1．f（5）=1，
∴f（x）的最大值是2．最小值为f（2），故①错误；
当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为：t=5，故③错误；
求函数y=f（x）-a的零点：可得f（x）=a，因为不知最小值的值，无法进行判断，故④错误；
故答案为②；
点评：本题考查函数的单调区间和极大值的求法，解题时要认真审题，仔细观察图象，熟练掌握导数的应用．