题目内容
已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，其左、右焦点为F1、F2，点P是坐标平面内一点，且|OP|=
，
•
=
其中O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点S（-
，0），且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在x轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| PF1 |
| PF2 |
| 3 |
| 4 |
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点S（-
| 6 |
| 5 |
（1）设P（x0，y0），∵|OP|=
，
•
=
，
∴
，化为
，
解得c=
．
又
，解得
．
∴椭圆C的方程为
+y2=1；
（2）存在定点M（-2，0），使以AB为直径的圆恒过这个点．证明如下：
设点A（x1，y1），B（x2，y2）．
把直线l：y=k(x+
)代入椭圆方程
+y2=1得(1+4k2)x2+
k2x+
k2-4=0，
∴x1+x2=-
，x1x2=
．
∴
•
=（x1+2，y1）•（x2+2，y2）
=(x1+2)(x2+2)+k(x1+
)•k(x2+
)
=（1+k2）x1x2+(
k2+2)(x1+x2)+4+
k2
=(1+k2)•
+(
k2+2)•
+4+
k2
=
=0．
∴MA⊥MB．
即以AB为直径的圆恒过这个定点M（-2，0）．
| ||
| 2 |
| PF1 |
| PF2 |
| 3 |
| 4 |
∴
|
|
解得c=
| 3 |
又
|
|
∴椭圆C的方程为
| x2 |
| 4 |
（2）存在定点M（-2，0），使以AB为直径的圆恒过这个点．证明如下：
设点A（x1，y1），B（x2，y2）．
把直线l：y=k(x+
| 6 |
| 5 |
| x2 |
| 4 |
| 48 |
| 5 |
| 144 |
| 25 |
∴x1+x2=-
| 48k2 |
| 5(1+4k2) |
| 144k2-100 |
| 25(1+4k2) |
∴
| MA |
| MB |
=(x1+2)(x2+2)+k(x1+
| 6 |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
=（1+k2）x1x2+(
| 6 |
| 5 |
| 36 |
| 25 |
=(1+k2)•
| 144k2-100 |
| 25(1+4k2) |
| 6 |
| 5 |
| -48k2 |
| 5(1+4k2) |
| 36 |
| 25 |
=
| (144k4+44k2-100)-(288k4+480k2)+(144k4+436k2+100) |
| 25(1+4k2) |
=0．
∴MA⊥MB．
即以AB为直径的圆恒过这个定点M（-2，0）．
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