Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n是S_n与2的等差中项，求数列的通项为：

a_n=2ⁿ

．

Answer 1

分析：由题意可知 2a_n=2+s_n ，根据前n项和与第n项间的关系，整理得a_n=2a_n-1，再由 s₁=2a₁-2，求出a₁ 的值，得到数列{a_n}为首项为2，公比为2的等比数列，由此求得数列的通项公式．

解答：解：由题意可知 2a_n=2+s_n ，即s_n=2a_n -2．
当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1 =（2a_n -2）-（2a_n-1-2），整理得 a_n =2a_n-1．
又 s₁=2a₁-2，∴a₁=2，故数列{a_n}为首项为2，公比为2的等比数列，
∴a_n=2×2^n-1 =2ⁿ，
故答案为 a_n=2ⁿ．

点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，前n项和与第n项间的关系，等比数列的通项公式的应用，属于中档题．