Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=2a_n-2ⁿ（n∈N*），令bn=

an

2n

．
（1）求证：数列{b_n}为等差数列；   
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）由题设S_n=2a_n-2ⁿ（n∈N*），得n≥2，n∈N^*时，S_n-1=2a_n-1-2^n-1，再由a_n=S_n-S_n-1整理出a_n=2a_n-1+2^n-1．此方程的两边同除以2ⁿ可得到n≥2时，b_n-b_n-1是一个常数，从而由等差数列的定义证得结论；
（2）由（1）知，bn=1+

1

2

(n-1)=

n+1

2

，结合bn=

an

2n

易得{a_n}的通项公式

解答：证明：（1）因为S_n=2a_n-2ⁿ（n∈N*），则n≥2，n∈N^*时，S_n-1=2a_n-1-2^n-1，
此时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2ⁿ-2a_n-1+2^n-1=2a_n-2a_n-1-2^n-1，
即a_n=2a_n-1+2^n-1．
由a₁=2a₁-2得a₁=2．由bn=

an

2n

得b1=

a1

2

=1．
当n≥2时，b_n-b_n-1=

an

2n

-

an-1

2n-1

=

an-2an-1

2n

=

2n-1

2n

=

1

2

，
所以{b_n}是首项为1，公差为

1

2

的等差数列．
解（2）由（1）知，bn=1+

1

2

(n-1)=

n+1

2

，即 

an

2n

=

n+1

2

，
所以{a_n}的通项公式为 a_n=（n+1）•2^n-1．

点评：本题考查数列的递推式及等差关系的确定，等比数列的通项公式，解题的关键是对所给的递推关系进行合理变形证得{b_n}是首项为1，公差为

1

2

的等差数列，这也是本题的难点