题目内容
正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为
- A.
- B.
- C.
- D.
B
分析：先证出B1D⊥平面AC1，过A点作AG⊥CD，证AG⊥平面B1DC，可知∠ADG即为直线AD与平面B1DC所成角，求其正弦即可．
解答：
解：如图，连接B1D
∵D是A1C1的中点，△A1B1C1是正三角形
∴B1D⊥A1C1，
∵平面AC1⊥平面A1B1C1，平面AC1∩平面A1B1C1=A1C1，
∴B1D⊥平面AC1，
过A点作AG⊥CD，则由B1D⊥平面AC1，得AG⊥B1D
由线面垂直的判定定理得AG⊥平面B1DC，
于是∠ADG即为直线AD与平面B1DC所成角，
由已知，不妨令棱长为2，则AD=
=CD，
由等面积法得AG=
=
所以直线AD与面DCB1的正弦值为
故选B．
点评：本题考查正棱柱的性质以及线面角的求法，考查空间想象能力以及点线面的位置关系．
分析：先证出B1D⊥平面AC1，过A点作AG⊥CD，证AG⊥平面B1DC，可知∠ADG即为直线AD与平面B1DC所成角，求其正弦即可．
解答：
解：如图，连接B1D∵D是A1C1的中点，△A1B1C1是正三角形
∴B1D⊥A1C1，
∵平面AC1⊥平面A1B1C1，平面AC1∩平面A1B1C1=A1C1，
∴B1D⊥平面AC1，
过A点作AG⊥CD，则由B1D⊥平面AC1，得AG⊥B1D
由线面垂直的判定定理得AG⊥平面B1DC，
于是∠ADG即为直线AD与平面B1DC所成角，
由已知，不妨令棱长为2，则AD=
=CD，由等面积法得AG=
=所以直线AD与面DCB1的正弦值为
故选B．
点评：本题考查正棱柱的性质以及线面角的求法，考查空间想象能力以及点线面的位置关系．
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=a，E，F分别是BB1，CC1上的点且BE=a，CF=2a．
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