Question

已知函数y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x，x∈R，那么（Ⅰ）函数的最小正周期是什么？（Ⅱ）函数在什么区间上是增函数？

Answer 1

解：（Ⅰ） y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x
=（sin²x+cos²x）+sin2x+2cos²x
=1+sin2x+（1+cos2x）
=sin2x+cos2x+2-------------------------------------------------（2分）
=，---------------------------------------------------（5分）
∴函数的最小正周期是π．--------------------------------------（6分）
（Ⅱ） 由，k∈Z---------------------------（8分）
得 --------------------------------------------------------（10分）
∴函数的增区间为：--------------------------------（12分）
分析：（Ⅰ） 先利用二倍角公式化简可得y=sin2x+cos2x+2，再利用辅助角公式化简得y=，从而可求函数的最小正周期；
（Ⅱ） 整体思维，利用正弦函数的单调性，可得，化简即可得到函数的增区间．
点评：本题重点考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，正确运用二倍角公式及辅助角公式是解题的关键．