Question

已知函数f（x）=ax²+bx+3a+b为偶函数，其定义域是[a-1，2a]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：根据二次函数是偶函数的性质列出方程组，求出a和b，代入求出函数解析式和定义域对应的区间，根据函数在定义域上的单调性，求出最大值和最小值，即求出值域．

解答：解：∵f（x）=ax²+bx+3a+b是[a-1，2a]上的偶函数，
∴

b=0 a-1+2a=0

，解得

a= 1 3 b=0

，
∴f（x）=

1

3

x²+1，定义域是[a-1，2a]=[-

2

3

，

2

3

]，
∴f（x）在[-

2

3

，0）上递减，在（0，

2

3

]上递增，
则当x=0时，f（x）取最小值为1，
当x=-

2

3

或

2

3

时，f（x）取最大值为

31

27

，
∴f（x）=

1

3

x²+1上的值域为[1，

31

27

]．

点评：本题考查了二次函数是偶函数的性质，及二次函数的单调性应用，关键是掌握二次函数是偶函数的充要条件．