Question

已知椭圆的中心在坐标原点，离心率为

1

2

，一个焦点是F（0，1）．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）直线l过点F交椭圆于A、B两点，且点F分向量

AB

所成的比为2，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）．依题意知c=1，∴a=2，b²=a²-c²=3，（2分），由此可知所求椭圆方程为

y2

4

+

x2

3

=1．
（Ⅱ）若直线l的斜率k不存在，则不满足|AF|=2|FB|．当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=kx+1．因为直线l过椭圆的焦点F（0，1），所以k取任何实数，直线l与椭圆均有两个交点A、B．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立方程

y=kx+1 y2 4 + x2 3 =1.

消去y，得（3k²+4）x²+6kx-9=0．然后由根与系数的关系进行求解即可．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）．（1分）
依题意，e=

c

a

=

1

2

，c=1，∴a=2，b²=a²-c²=3，（2分）
∴所求椭圆方程为

y2

4

+

x2

3

=1．（4分）
（Ⅱ）若直线l的斜率k不存在，则不满足|AF|=2|FB|．
当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=kx+1．因为直线l过椭圆的焦点F（0，1），所以k取任何实数，直线l与椭圆均有两个交点A、B．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立方程

y=kx+1 y2 4 + x2 3 =1.

消去y，得（3k²+4）x²+6kx-9=0．（6分）
∴x1+x2=

-6k

3k2+4

，①x1•x2=

-9

3k2+4

，②
由F（0，1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

AF

=(-x1，1-y1)，

FB

=(x2，y2-1)，
∵

AF

=2

FB

，∴（-x₁，1-y₁）=2（x₂，y₂-1），得x₁=-2x₂．（8分）
将x₁=-2x₂代入①、②，得x2=

6k

3k2+4

，③

x

2 2

=

9

6k2+8

，④（10分）
由③、④得，(

6k

3k2+4

)2=

9

6k2+8

，化简得

36k2

3k2+4

=

9

2

，
解得k2=

4

5

，k=±

2 5

5

；
∴直线l的方程为：y=±

2 5

5

x+1．（13分）

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．