Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，且a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2且n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项之和S_n，求S_n，并证明：＞2n-3．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由（n≥2，且n∈N^*），得数列{}是等差数列，公差d=1，首项，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由（n-）•2ⁿ，利用错位相减法能够得到，由此能够证明＞2n-3．
解答：解：（Ⅰ）∵（n≥2，且n∈N^*），
∴，即（n≥2，且n∈N^*），…（3分）
所以，数列{}是等差数列，公差d=1，首项，…（5分）
于是===n-，
∴．…（7分）
（Ⅱ）∵（n-）•2ⁿ，①
∴2S_n=+…+，②…（9分）
①-②，得-
=2+2²+2³+…+
=
=（3-2n）•2ⁿ-3，…（12分）
∴＞（2n-3）•2ⁿ，
∴＞2n-3．…（14分）
点评：本题主要考查等差数列通项、求和公式、数列前n项和与通项的关系等基础知识，同时考查运算求解能力及抽象概括能力．