Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2 2

3

，过双曲线

x2

b2

-

y2

a2

=1左支上一点M作直线l与双曲线的渐近线l₁，l₂分别交于A，B两点．
（1）求渐近线l₁，l₂的方程；
（2）若

AM

=3

BM

，且

OA

•

OB=8

，求椭圆的方程．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆离心率，结合a，b，c的关系，可求a，b的比值，即可求得渐近线方程；
（2）设M（x₀，y₀），A（x₁，3x₁），B（x₂，-3x₂），利用向量的坐标表示得到点M的坐标与A，B坐标的关系式，再将M的坐标代入椭圆方程结合题中向量的数量积条件即可得出a，b的值，从而求得椭圆的方程．

解答：解：（1）∵

8

9

=

a2-b2

a2

，得

b

a

=

1

3

，∴渐近线l₁，l₂的方程为y=±3x；
（2）设M（x₀，y₀），A（x₁，3x₁），B（x₂，-3x₂），

AM

=（x₀-x₁，y₀-3x₁），

BM

=（x₀-x₂，y₀+3x₂），
∴y₀-3x₁=3y₀+9x₂
∴y₀=

3

2

（-3x₂-x₁），∵

(3x2-x1)2

4b2

-

9 4 (3x2+x1)2

9b2

=1，
∴4b²=-12x₁x₂，即b²=-3x₁x₂，
∵

OA

•

OB

=8，
∴x₁x₂+3x₁（-3x₂）=8，x₁x₂=-1，
∴b²=3，a²=27，
∴椭圆的方程为；

x2

27

+

y2

3

=1．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．