Question

如图，五面体中，四边形ABCD是矩形，DA面ABEF，且DA=1，AB//EF，，P、Q、M分别为AE、BD、EF的中点．

（1）求证：PQ//平面BCE；
（2）求证：AM平面ADF；
（3）求二面角A-DF-E的余弦值．

Answer 1

(1) 证明：见解析；（2）见解析；（3）.

解析试题分析：(1) 证明：连接AC,根据四边形ABCD是矩形，Q是BD的中点，从而Q为AC的中点，又在中，P是AE的中点，得到PQ//EC，即得证.
（2）通过确定,及，得出四边形是平行四边形.
进一步得出S是直角三角形且. .
又由，及，得到.
（3）通过以A为坐标原点。以AM,AF,AD所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.
将问题转化成空间向量的坐标运算问题，解答过程较为常规，注意确定平面的法向量，研究其夹角的余弦得解.应注意结合图象，确定所求角余弦值的正负.
试题解析：(1) 证明：连接AC,因为四边形ABCD是矩形，Q是BD的中点，所以，Q为AC的中点，又在中，P是AE的中点，所以PQ//EC，
因为.
（2）因为M是EF的中点，所以，,
又，所以，四边形是平行四边形.
所以，，
又所以，S是直角三角形且. .
又，所以，，由，
所以，.
（3）如图，以A为坐标原点。以AM,AF,AD所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.

则A（0,0,0），D（0,0,1），M（2,0,0），F（0,2,0）
可得.
设平面DEF的法向量为，则.
故令，则，，所以，是平面DEF的一个法向量.
因为，，所以，S是平面的一个法向量.
所以，.
由图可知，所求二面角是锐二面角，所以二面角A-DF-E的余弦值是.
考点：平行关系，垂直关系，二面角的计算，空间向量的应用.