Question

函数y=log

1

2

(sinxcosx)为增函数的区间是

（kπ，kπ+

π

4

]，k∈z

．

Answer 1

分析：令t=sinxcosx=

1

2

sin2x＞0，可得 y=log

1

2

t，本题即求函数t在满足t＞0时的单调增区间．令2kπ＜2x≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，可得所求．

解答：解：令t=sinxcosx=

1

2

sin2x＞0，可得 y=log

1

2

t，且2kπ＜2x＜2kπ+π，k∈z．
解得 kπ＜x＜kπ+

π

2

，故函数y的定义域为（kπ，kπ+

π

2

 ）．
根据复合函数的单调性可得，本题即求函数t在（kπ，kπ+

π

2

 ）上的单调增区间．
令2kπ＜2x≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得kπ＜x≤kπ+

π

4

，
故函数t在（kπ，kπ+

π

2

 ）上的单调增区间为（kπ，kπ+

π

4

]，k∈z．
故答案为 （kπ，kπ+

π

4

]，k∈z．

点评：本题主要考查复合函数的单调性、正弦函数的图象和性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．