Question

△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC+

1

2

c=b．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的周长为3，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，根据sinC不为0求出cosA的值，即可确定出A的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将cosA的值代入并利用基本不等式得到a≥

bc

，代入a+b+c=3中，并利用基本不等式求出bc的最大值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出面积的最大值．

解答：解：∵acosC+

1

2

c=b，
∴sinAcosC+

1

2

sinC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
整理得：

1

2

sinC=cosAsinC，
∵sinC≠0，
∴cosA=

1

2

，
∵A为三角形内角，
∴A=60°；
（2）∵A=60°，
∴a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，
∴a≥

bc

，
∴3=a+b+c≥

bc

+b+c≥

bc

+2

bc

=3

bc

，即bc≤1，
∴S=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤

3

4

，当且仅当b=c=a=1时，取得最大值

3

4

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键．