Question

已知函数f(x)=

1 2 x+1(0＜x＜ 1 2 ) 2-4X+1( 1 2 ≤x＜1)

（1）求f(

5

8

)的值；
（2）解不等式f(x)＞

2

8

+1．

Answer 1

分析：（1）根据解析式，直接将

5

8

代入即可求得f（

5

8

）的值；
（2）根据解析式，分类讨论求解不等式即可，最后取两种情况的并集即为答案．

解答：解：（1）∵函数f(x)=

1 2 x+1(0＜x＜ 1 2 ) 2-4X+1( 1 2 ≤x＜1)

，
∴当

1

2

≤x＜1时，f（x）=2^-4x+1，
∴f(

5

8

)=2-4×

5

8

+1=2-

5

2

+1=

1

25

+1=

2

8

+1，
故f（

5

8

）=

2

8

+1；
（2）∵函数f(x)=

1 2 x+1(0＜x＜ 1 2 ) 2-4X+1( 1 2 ≤x＜1)

，且不等式f(x)＞

2

8

+1，
故原不等式可化为

0＜x＜ 1 2 1 2 x+1＞ 2 8 +1

，①或

1 2 ≤x＜1 2-4x+1＞ 2 8 +1

②，
解①，可得

2

4

＜x＜

1

2

，
解②，可得

1

2

≤x＜

5

8

，
综上所述，原不等式的解集为(

2

4

，

5

8

)．

点评：本题考查了函数的求值，分段函数解不等式问题．对于分段函数的问题，一般选用分类讨论和数形结合的思想方法进行求解，根据分段函数的图象很容易得到相关的性质，若选用分类讨论的方法，则关键是讨论需用哪段解析式进行求解．属于中档题．