Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n＞0，S_n是数列{a_n}的前n项和，对任意的n∈N^*，有2S_n=2a_n²+a_n-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记

bn

=

1

2an

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）在数列递推式中取n=n+1，得到另一递推式，两式作差后整理，得到数列{a_n}为等差数列，并求出数列的公差，然后直接代入通项公式得答案；
（2）把数列{a_n}的通项公式代入

bn

=

1

2an

，变形后得到数列{b_n}为等比数列，并求出首项和公比，代入等比数列的前n项和公式得答案．

解答：解：（1）由2Sn=2an2+an-1，得2Sn+1=2an+12+an+1-1
相减得：2a_n+1=2（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）+（a_n+1-a_n）
整理得：（a_n+1+a_n）（2a_n+1-2a_n-1）=0
∵a_n＞0，∴2a_n+1-2a_n-1=0，
∴an+1=an+

1

2

．
∴数列{a_n}是以1为首项，

1

2

为公差的等差数列
∴an=

n+1

2

；
（ 2 ）由

bn

=

1

2an

，得bn=(

1

2

)n+1，
∴{b_n}为首项为

1

4

．公比为

1

2

的等比数列．
∴Tn=

1 4 (1-( 1 2 )n)

1- 1 2

=

1

2

-

1

2n+1

．
故Tn=

1

2

-

1

2n+1

．

点评：本题考查了等差关系的确定，考查了等差数列的通项公式，考查了等比关系的确定及等比数列的前n项和公式，是中档题．