Question

设二次函数f(x)=ax²+bx+c(a、b、c∈R),且f(1) =-,a＞2c＞b.

(1)判断a、b的符号;

(2)证明f(x)=0至少有一实根在区间(0,2)内;

(3)求函数y=f(x)图象被x轴所截弦长的范围.

Answer 1

(1)解析:∵f(1)=- ,?

∴3a+2b+2c=0.①?

又∵a＞2c＞b,∴3a+2b+2c＜3a+2a+a=6a,3a+2b+2c＞3b+2b+b=6b,?

结合①得a＞0且b＜0.?

(2)证明:由①得b=- a-c,?

∴f(0)=c,f(2)=4a+2b+c=a-c.?

1°当c≤0时,∵a＞0,?

∴f(1)=-＜0且f(2)=a-c＞0.?

∴f(x)=0在区间(1,2)内至少有一个实数根.?

2°当c＞0时,∵a＞0,∴f(0)=c＞0且f(1)=- ＜0.?

∴f(x)=0在区间(0,1)内至少有一个实数根.?

综合1°和2°,得f(x)=0在(0,2)内至少有一个实数根.?

(3)解析:由①得2c=-3a-2b,?

∵a＞2c＞b,?

∴a＞-3a-2b＞b.?

∵a＞0,∴1＞-3-2· ＞.?

∴-2＜＜-1.②?

设方程f(x)=0的两根为x₁、x₂,?

则x₁+x₂=-,③?

x₁x₂= =- -,④?

由②得 ＜|x₁-x₂|＜,

即函数y=f(x)的图象被x轴截得的弦长的取值范围是(, ).